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我们知道反比例函数的图像都是由两支形状相同的曲线组成的，我们称反比例函数的图像为双曲线。反比例函数的图像既是中心对称图形，也是轴对称图形，其对称中心是坐标原点，对称轴是两坐标轴夹角平分线所在的直线，即直线y=x和y=-x。下文通过寻求反比例函数对称性与正比例函数y=kx(k≠0)，或特殊一次函数y=±x+b(b≠0)的对称性之间相互关系，建立数学模型，借助“形”的直观灵活设点的坐标，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.具体结论探讨如下：层次1应用反比例函数图像本身对称性例1．（春南充校级期末）如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝2/x与y＝﹣2/x的图像均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（ 　　）A．2B．4C．6D．8根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积，据此即可求解．阴影部分的面积是4×2＝8．故选：D．本题考查了反比例函数的图象的对称性，理解阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积是关键．变式练习1．（秋温州校级期中）如图所示，点P（4a，a）是反比例函数y＝k/x（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为17π，则k的值为（ 　　）A．4B．16C．/15D．/5B．层次2巧用反比例函数与正比例函数的对称性例2．（秋金牛区校级月考）已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线y=9/x相交于点A（x1，y1）（第一象限）、B（x2，y2）（第三象限），则2x1y2﹣1/9x2y1的值是_______根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．由题意知，直线y＝kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y＝9/x交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，又∵点A，B在双曲线y＝9/x上，∴x1×y1＝9，x2×y2＝9，∵由反比例函数的性质可知，A、B两点关于原点对称，∴x1×y2＝﹣9，x2×y1＝﹣9，∴2x1y2﹣1/9x2y1＝2×（﹣9）﹣1/9×（﹣9）＝﹣18+1＝﹣17,故答案为﹣17本题考查了反比例函数的对称性，利用了过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称而求解的．变式练习2．（江都区校级三模）若函数y＝1/x与y＝kx（k＞0）图象的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则代数式3x1y2+2x2y1的值是______．3．（春邗江区校级月考）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝k/x的图象与一次函数y＝﹣2x的图象相交于A、B两点．若点A的坐标为（m，n），则点B的坐标为______．2.-5根据反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，得到x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，再代入3x1y2+2x2y1得出答案．3.（﹣m，﹣n）．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．层次3活用反比例函数与一次函数y=±x+b的对称性例3．（连云港模拟）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A，B两点，若反比例函数y＝k/x（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ 　　）A．2≤k≤8B．2≤k≤9C．2≤k≤5D．5≤k≤8常规解法：先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝﹣x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5，当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4，∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∵1≤x≤4，∴当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为（3，3），因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选：B．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．巧妙解法：由对称2②可知，A,B两点关于直线y=x对称，设A（m,n）,则B(n,m),依题意可得当A,B两点重合时，双曲线与直线AB（即△ABC）有且只有一个交点（临界点一），即m=n，又由A（m,n）在直线y=-x+6上，得m=n=3,则k=mn=9;同理当双曲线与△ABC有且只有一个交点（临界点二），即K=1×2=2，因此K的取值范围为2≤k≤9．故选：B．例4.已知，如图，直线y=x+2与双曲线y=k/x（k＞0）相交于于A,B两点，且与y轴交于点C，若△AOB面积为6，求K的值为_________。解析：由对称2①可知，A,B两点关于直线y=-x对称，设A(m,n),则B(-n,-m),则△AOB面积为1/2OC(m+n)=m+n=6,又由A(m,n)在直线y=x+2上，有n=m+2,可得m=2,n=4，所以k=mn=8.变式练习4．（秋龙华区期末）如图，已知函数y＝x+2的图象与函数y＝k/x（k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y＝k/x（k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为8．则k的值为______．5．（春靖江市校级月考）一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝﹣2/x，x与y的对应值如表：不等式2/x﹣x+1＞0的解集为______．4.3．5.x＜﹣1或0＜x＜2．以上例题中反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而所用的解题思路让我们感受到数形结合是多么的奇妙．均利用反比例函数的对称性，通过设而不求的方法解决问题.这种方法在数形结合的中经常用到的，也是解次函数问题一种巧妙思路.


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